Bilangan Bulat

 

A.    Konsep dan Pengertian Bilangan Bulat

1.      Bilangan bulat

               Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4,... sehingga negatif dari bilangan cacah yaitu -1,-2,-3,-4,... dalam hal ini -0 = 0 maka tidak dimasukkan lagi secara terpisah.

Himpunan semua bilangan bulat terdiri atas:

1.      Bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : { 1, 2, 3, 4, 5,...}

2.      Bilangan bulat nol, yaitu 0

3.      Bilangan bulat negatif, yaitu : {-1, -2, -3, -4, -5, ...}

2.      Lawan Bilangan Bulat

·         Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat

·         Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.

a + (-a) = 0

Misalnya: :

1)      Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0

2)      Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0

3)      Lawan dari -2 adalah 2, sebab -2 + 2 = 0

4)      Lawan dari 3 adalah -3, sebab 3 + (-3) = 0

5)      Lawan dari 10 adalah -10, sebab 10 + (-10) = 0

6)      Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

B. Sifat-sifat Bilangan Bulat

    1. Sifat-sifat Relasi Sama

·         Sifat Refleksi, yaitu untuk sembarang bilangan bulat berlaku a = a.

Contoh : 7 = 7, dan -6 = -6

·         Sifat Simetris, yaitu untuk sembarang bilangan bulat a dan b berlaku “ jika a = b maka     b = a”.

Contoh : jika 6 = 4+2 maka, 4+2 = 6.

·         Sifat Transitif, yaitu untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku “ jika a = b, b = c, maka a =c.

Contoh : jika 9 = 3 + 6, 3 + 6 = 4 + 5, maka 9 = 4 + 5

       2. Sifat-sifat Relasi Urutan

Untuk sembarang bilangan real a dan b, a dikatakan kurang dari b (ditulis a<b jika b-a positif. Bilangan a dikatakan lebih dari b (ditulis a>b) jika b<a. Sebagai contoh, 2<5 dan 3 >-1. Mudah ditunjukkan bahwa:

a.       Bilangan a positif jika dan hanya jika a>0.

b.      Bilangan a negatif jika dan hanya jika a<0 .

Jika a kurang dari atau sama dengan b, maka ditulis a ≤ b. Jika a lebih dari atau sama dengan b, maka ditulis a ≥ b . Sedangkan a<b<c  dimaksudkan sebagai a<b  dan b<c . Artinya b antara a dan c. Berikut ini adalah beberapa sifat yang sangat penting untuk diketahui. Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c:

1.      Jika a ≤ b maka a+c ≤ b+c untuk setiap bilangan real c.

2.      Jika a ≤ b dan b ≤ c maka a ≤ c.

3.      a. Jika a ≤ b dan c>0  maka a.c ≤ b.c.

b. Jika a ≤ b dan c<0 maka a.c ≥ b.c.

4. a. Jika a >0 maka

Jika 0 < a  ≤ b maka

Untuk sembarang bilangan real a dan b berlaku tepat satu: a<b, a=, atau a>b

Jika a,b ≥ 0 maka:

C.     Operasi Bilangan Bulat  

Ada 4 macam operasi utama yang berlaku pada bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Keempat operasi bilangan bulat ini sangat berhubungan satu sama lain. Berikut akan di jelaskan satu per satu mengenari operasi bilangan bulat berikut:

1.      Operasi Penjumlahan

·         Bilangan bulat positif + Bilangan bulat positif  hasilnya Bilangan bulat Positif

Contoh : 9 + 4 = 13

·         Bilangan bulat negatif + Bilangan bulat negatif hasilnya Bilangan bulat Negatif

Contoh : -12 + (-6) = -18

·         Bilangan bulat negatif + bilangan positif hasilnya:

·         Bilangan bulat positif jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan bulat negatif

Contoh : -3 + 7 = 4

·         Bilangan bulat negatif jika bilangan bulat positif lebih besar bilangannya dari pada bilangan buat positif

Contoh : -7 + 2 = -5

Sifat- sifat penjumlahan pada bilangan bulat

a.      Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan.

            Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

                                            a + b = b + a               

            Artinya, hasil penjumlahan dua bilangan bulat yang tempatnya dipertukarkan selalu sama.

b.      Unsur identitas pada penjumlahan

            Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

                                     a + 0 = 0 + a = a

   Artinya, hasil penjumlahan suatu bilangan bulat dengan bilangan nol atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

    0 disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan.

c.       Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada penjumlahan.

               Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku:

                                     (a + b) + c = a + (b + c)

d.      Sifat tertutup pada penjumlahan

            Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a + b = c maka c juga bilangan bulat.

Artinya, penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga.

 

e.       Sifat adanya Invers Penjumlahan

            untuk stiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0 bilangan b ini di sebut invers atau lawan dari a dan biasanya dinyatakan dengan lambang –a.

f.        Sifat Ketertambahan

Jika a, b, c, bilangan-bilangan bulat, dan a + c = b + c maka a = b

2.      Operasi Pengurangan

Pengurangan bilangan bulat di definisikan sebagai berikut :

Misalkan a dan b bilangan bulat

a – b = c yang berarti b + c = a

kesimpulannya adalah bahwa a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.

Contoh : (-2) – 3 = -5 sebab 3 + (-5) = 2

Sifat-sifat pengurangan bilangan bulat

a. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

    a - b = a + (-b)

    Artinya, mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a.

 

b. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

    a - b tidak sama dengan b -c

   (a - b) - c tidak sama dengan a - (b - c)

 

c.  Sifat pengurangan bilangan nol (0)

     a - 0 = a

     0 - a = -a

    0 - 0 = 0

 

d. jika a dan b bilangan bulat, maka a – b = a + (-b).

 

 

 

 

3. Operasi Perkalian

Operasi perkalian bilangan bulat adalah hasil kali dua bilangan bulat yang berlainan tanda ( + atau - ) adalah bilangan bulat negatif, dan hasil kali dua bilangan bulat yang bertanda sama adalah bilangan bulat positif.

Contoh : (-3) (-2) = 3.2 = 6

                 5 (-2) = - (5.2) = -10

Sifat-sifat Perkalian bilangan bulat

1.      Hasil perkalian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

    a. Hasil kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

        a x b = ab atau (+) x (+) = (+)

    b. Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

        a x (-b) = -ab atau (+) x (=) = (-)

        Contoh: 4 x (-5) = -20

    c. Hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif.

        (-a) x b = -ab atau (-) x (+) = (-)

        Contoh: -3 x 6 = -18

    d. Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

        (-a) x (-b) = ab atau (-) x (-) = (+)

        Contoh: (-5) x (-2) = 10

2.      Hasil perkalian antara bilangan bulat dengan nol adalah nol

    Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

    a x 0 = 0 x a = 0

3.      Unsur identitas pada perkalian

    Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

    a x 1 = 1 x a = a

   Artinya, hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

    1 disebut unsur identitas (netral) pada perkalian.

 

4.      Sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

    a x b = b x a

5.       Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

    (a x b) x c = a x (b x c)

6. Sifat distributif (penyebaran) pada perkalian

    a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

        Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

        a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

    b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

        Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

        a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

7.   Sifat tertutup pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a x b = c, maka c juga bilangan bulat.

8.   Sifat Ketergandaan

Untuk setiap bilangan bulat a, b, c jika a = b , maka a.c = b.c

 

9.   Sifat konselasi

Untuk setiap bilangan bulat a,b, c jika ac = bc dan c  0 , maka a =

Teorema Operasi Perkalian

Jika a bilangan bulat, maka (-1) a = -a

4.Operasi Pembagian

Operasi bilangan bulat di definisi sebagai berikut:

“jika a dan b bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka a dibagi b di tulis a : b , ialah bilangan bulat x yang bersifat b.x = a”.

 

Sifat-sifat pembagian bilangan bulat

1.      Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian

            a : b = c <=> c x b = a

2.      Hasil pembagian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

    a. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

        (+) : (+) = (+)

   b. Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.

        (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)

        Contoh: 8 : (-2) = -4

                     (-16) : 4 = -4

     c. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

        (-) : (-) = (+)

        Contoh: (-18) : (-3) = 6

3.      Pembagian dengan bilangan nol

    Untuk sembarang bilangan bulat a, maka:

    a : 0 tidak terdefinisikan

    0 : a = 0

4.      Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif

    a : b tidak sama dengan b : a

    (a : b) : c tidak sama dengan a : (b : c)

    a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat dengan a, b, c bukan 0 dan 1.

    Contoh:

    1). 8 : 2 tidak sama dengan 2 : 8

            4   tidak sama dengan 1/4

    2). (16 : 4) : 2 tidak sama dengan 16 : (4 : 2)

               4 : 2     tidak sama dengan 16 : 2

2              tidak sama dengan 8

 

D.Pengajaran Operasi Bilangan Bulat

1.      Pemahaman Konsep Bilangan bulat

Terlebih dahulu kita kenalkan konsep bilangan bulat negatif. Bilangan bulat negatif merupakan lawan dari bilangan bulat positif. Untuk menanamkan konsep seperti ini guru setidaknya berceramah secara singkat tentang pemahaman tersebut. Setelah itu guru melakukan tanya jawab kepada siswa tetang materi yang baru saja di bawakan. Hal itu bertujuan untuk menambah pengetahuan siswa.

Pemahan konsep bilangan bulat terutama dalam operasi pengurangan dapat dilakukan dengan garis bilangan. Sehingga guru dapat membimbing siswa untuk menyimpulkan bilangan bulat positif, nol, dan bilangan negatif disebut bilangan bulat.

2.      Penanaman Konsep Penjumlahan Bilangan Bulat

a.       Menggunakan Benda Kongkret

Penanaman konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bula dapat dilakukan dengan benda kongket, contoh nya saja menggunakan kartu. Guru menyediakan kartu berukuran 5x5 cm yang terdiri atas dua warna, misalkan masing-masing bewarna merah muda dan biru. Setelah itu guru menentukan identitas kartu dengan merah muda adalah kartu yang mewakili bilangan  bulat positif (+), sedangkan kartu yang bewarna biru muda mewakili bilangan bulat  negatif (-).

 

             Contoh soal:

 

1.            Cobalah perhatikan beberapa contoh operasi hitung berikut :

Penjumlahan

2 + 3 = 5

3 + 2 = 5

Ternyata, walaupun letak angkanya dibalik, hasilnya tetap sama. Oleh karena itu operasi penjumlahan diatas dapat ditulis :

2              + 3 = 3 + 2 = 5

 

 

2.            Perkalian

2 x 3 = 3 + 3 = 6

3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6

Nah, walaupun cara pengerjaannya berbeda, tetapi ternyata hasil perkalian bilangan  diatas adalah sama yaitu 6. Oleh karena itu, dapat kita tulis :

2 x 3 = 3 x 2 = 6

 

 

Dari dua contoh diatas dapat kita simpulkan bahwa walaupun letak bilangannya ditukar, tetapi hasil operasi hitungnya tetap sama. Sifat ini disebut dengan sifat komutatif (pertukaran).

 

 

Secara umum dapat ditulis :

a + b = b + a

a x b = b x a

 

 

Dengan a dan b merupakan bilangan bulat. Pada operasi pengurangan dan pembagian bilangan bulat, tidak berlaku sifat komutatif.

 

 

3. Tentukanlah hasil operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat berikut menggunakan sifat komutatif.

a. 23 + 4 = . . . . + . . . . =

b. – 16 + 10 = . . . . + . . . . =

c. 1.200 + 345 = . . . . + . . . . =

d. – 400 + (- 250) = . . . . +  . . . . =

 

 

Jawab :

a. 23 + 4 = 4 + 23 = 27

b. – 16 + 10 = 10 + ( - 16) = - 6

(untuk mempermudah pengerjaan, bilangan negatif kita misalkan dengan hutang sedangkan positif kita misalkan dengan bayar. Kita punya hutang 16 ( - 16) dan kita bayar 10, maka hutang kita belum lunas, bersisa sebanyak 6. Maka haslnya adalah – 6.

 

 

c. 1.200 + 345 = 345 + 1.200 = 1.545

d. – 400 + (- 250) = - 250 + (- 400) = - 650

 

 

4. Isilah titik – titik di bawah dengan benar (sesuai dengan sifat komutatif) dan kemudian tentukan hasilnya!

a. 3 x 8 =  . . . x . . . =

b. – 12 x 6 = . . . x  . . . =

c. 4 x – 10 = . . . x  . . . =

d. – 9 x – 20 = . . . x  . . . =

 

 

Jawab :

Untuk perkalian bilangan bulat, kalian harus ingat aturan berikut :

Jika yang dikalikan adalah :

(+) x (+) = (+)

(+) x (-) = (-)

(-) x (+) = (-)

(-) x (-) =(+)